Em matemática, uma geometria não euclidiana é uma geometria baseada num sistema axiomático distinto da geometria euclidiana. Modificando o axioma das paralelas, que postula que por um ponto exterior a uma reta passa exatamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se as geometrias elíptica e hiperbólica. Na geometria elíptica não há nenhuma reta paralela à inicial, enquanto que na geometria hiperbólica existe uma infinidade de rectas paralelas à inicial que passam no mesmo ponto. Na geometria elíptica a soma dos ângulos internos de um triangulo é maior que dois ângulos retos, enquanto na geometria hiperbólica esta soma é menor que dois ângulos retos. Na hiperbólica temos que a circunferência de um círculo é menor do que PI vezes o seu diâmetro, enquanto na hiperbólica esta circunferência é maior que PI vezes o diâmetro.
O crédito pela descoberta das geometrias não euclidianas geralmente é atrelado às figuras dos matemáticos Carl Friedrich Gauss,Nikolai Lobachevsky, János Bolyai, e Bernhard Riemann.
O grande organizador da geometria grega éEuclides (300 a.C.). A base da geometria euclidiana, que dominou de forma absoluta até o século XIX, tem como postulado a existência de apenas uma linha paralela a uma linha “m” que contém um dado ponto não pertencente à linha “m”.
Teorema de Pitágoras, o mais importante da geometria euclidiana, foi “descoberto” empiricamente pelos agricultores egípcios, e só posteriormente foi depurado do seu conteúdo empírico pelos geômetras gregos.
A identificação da geometria euclidiana como sendo a própria geometria do mundo.
Com o desenvolvimento das Ciências, começou a ficar claro que, por trás do mundo do dia-a-dia, existe um Universo mais vasto que só pode ser interpretado com a ajuda de uma geometria mais ampla. Todavia, até ao século XIX, a arquitetura lógica euclidiana serviu de modelo de estruturação de outros ramos do conhecimento, pois foi considerada altamente satisfatória. Há que referir como exceção o 5º postulado que, desde a Antigüidade, despertou a atenção de vários matemáticos, o que acabará por conduzir ao aparecimento de novas geometrias.
A origem da geometria que ainda hoje é ensinada nas escolas remonta à Antiguidade; considera-se que os povos gregos, obedecendo a motivações de ordem prática suscitada por atividades como a Astronomia, a Navegação e a Agricultura, desenvolveram técnicas adequadas para medir a terra, iniciando-se na geometria.
Durante séculos esse sistema valeu como modelo insuperável do saber dedutivo: os termos da teoria são introduzidos depois de terem sido definidos e as proposições não são aceitas se não foram demonstradas. As proposições primitivas, base da cadeia sobre a qual se desenvolvem as deduções sucessivas, Euclides as escolhia de tal modo que ninguém pudesse levantar dúvidas sobre a sua veracidade: eram auto-evidentes, portanto isentas de demonstração. Leibniz afirmaria mais tarde que os gregos raciocinavam com toda a exatidão possível em matemática e deixaram à humanidade modelos de arte demonstrativa.
Panorama histórico
No entanto, existe a certeza de que, devido a Euclides, os conceitos de geometria adquiriram forma cientifica na Grécia. Embora a sua origem se encontre no antigo Egito, local onde sentiu a necessidade de efetuarem medições da terra devido às inundações periódicas do rio Nilo.
Medir as terras para fixar os limites das propriedades era uma tarefa importante nas civilizações antigas, especialmente no Egito. Ali, as enchentes do Nilo derrubavam os marcos fixados no ano anterior, obrigando os proprietários a refazer os limites de suas áreas de cultivo. Os egípcios tornaram-se hábeis delimitadores de terras e devem Ter descoberto e utilizando inúmeros princípios úteis relativos às características de linhas, ângulos e figuras - como por exemplo, o de que a soma dos três ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, e o de que a área de um paralelogramo é igual à do retângulo que tenha a mesma base e a mesma altura.
Os antigos egípcios devem ter obtido esses princípios por intermédio da observação e da experimentação - isto é, por intermédio de um raciocínio indutivo, medindo formas e comparando resultados. Os egípcios se limitaram à acumulação de conhecimentos que os habilitavam a resolver problemas de traçado de limites, de comparação de áreas, de projetos arquitetônicos e de engenharia de construções.
Os gregos perceberam o que os egípcios eram capazes de fazer, e assimilaram seus princípios empíricos. A este conhecimento, os gregos deram o nome de geometria - isto é, medida da terra. Mas os gregos apreciavam a Geometria também em virtude de seu interesse teórico. Aos gregos não bastou o critério empírico; procuraram encontrar demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço, que governavam as aplicações práticas da Geometria. Alguns filósofos gregos, em particular Pitágoras e Platão, davam enorme importância intelectual à Geometria, considerando que em sua forma pura e abstrata ela se aproximava bastante da metafísica e da religião.
Biografia de Euclides
Euclides de Alexandria nasceu em 325 a.C. e morre em 265 a.C., foi um matemático grego, que ficou conhecido pelo seu mais famoso trabalho “Os Elementos”. Mto pouco sabe sobre sua vida, sabe-se que ensinou em Alexandria, no Egito, durante o reinado do Rei Ptolomeu (306-283 a.c.). Alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava Geometria e Álgebra, conseguindo assim atrair para suas lições públicas um grande número de discípulos.
É um dos mais influentes matemáticos gregos da Antiguidade. É possível que tenha aprendido matemática em Atenas, com os discípulos de Platão.
Euclides tornou-se professor e estudioso da escola em Alexandria conhecida como Museum. Enquanto esteve no Museum, ele escreveu seu trabalho de maior influência, os Elementos.
Fundou a primeira escola de matemática de Alexandria, onde havia a biblioteca mais impressionante da Antiguidade, onde havia cerca de 700.000 volumes e foi ai que suas obras tomaram forma.
Como Euclides escreveu “Os Elementos”, que é usado a mais de 2.000 anos, esse lhe rendeu o título de “Pai da Geometria”.
Obras de Euclides
Estes livros e a bíblia são provavelmente os livro mais reproduzidos e estudados na história do mundo ocidental.
Como todos sabem, sua obra Stoichia (Os Elementos, 300 a.c), foi sua mais famosa. Essa obra consiste em uma obra de treze volumes, escrita em grego, que cobria toda aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego, reunindo o trabalho de seus predecessores, como Hipócrates e Eudóxio, sistematizava todo o conhecimento geométrico dos antigos e intercalava os teoremas já conhecidos então com a demonstração de mtos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado. são os livros mais difundidos da história. Mais de mil edições foram impressas desde a primeira versão impressa de 1482 e, mesmo antes desta data, foram os textos básicos da matemática padrão do ocidente. A qualidade das definições e o desenvolvimento axiomático da aritmética evoluíram muito desde a época de Euclides porém, o valor fundamental dos textos euclidianos é difícil de ser superado
Nos Elementos, Euclides chama "postulados" as leis que não podem ser demonstradas, que tratam de retas, ângulos, e figuras - logo são consideradas verdadeiras, e utilizadas para demonstrar as outras leis geométricas. As leis demonstráveis são chamadas "teoremas" ou "proposições".
Foi o texto mais influente de todos os tempos e com maior número de edições publicadas, tão marcante que seus sucessores o chamavam de “o elementador”.
O tratado começa sem introdução ou preâmbulo, com definições “postulados e axiomas”, que os modernos denominam ser pressuposições. A seguir vêm as proposições, apresentadas e demonstradas com grande rigor e rara clareza, com base nos pressupostos. A complexidade é crescente e à medida que o texto avança as proposições se apóiam em pressupostos e proposições anteriormente demonstrados.
Quando vamos ao cinema, quando vemos imagens na televisão, quando folheamos uma revista, ou um livro com gravuras, não nos preocupamos com a natureza das imagens que estamos a "visualizar".
As figuras são planas, mas os objectos que se apresentam diante de nós, são visualizados como tendo três dimensões. Isto parece-nos tão natural que não reflectimos sobre este facto:
numa superfície plana, bidimensional, estão representados objectos tridimensionais.
Desde a pré -história, o problema da representação plana de objectos a três dimensões, esteve sempre presente. Tudo começou quando o homem teve a ideia de traçar sobre uma rocha, figuras humanas, animais ou simples grafismos, no interior das cavernas ou mesmo ao ar livre como podemos apreciar aqui em Portugal no Vale do Coa.
Podemos pois dizer que o desenho tem ocupado, desde as épocas mais remotas, um papel importante como meio de expressão e comunicação entre seres humanos.
A evolução das técnicas e dos suportes possibilitou as diversas formas de desenho que se adaptaram melhor às necessidades criativas dos homens.
A geometria fractal estuda as propriedades e comportamentos de figuras mais complexas que a geometria euclidiana (ou dimensão topológica) abrange, descreve situações que não podem ser descritas pela geometria euclidiana, por esta falhar nesses casos. A geometria euclidiana falha na descrição de formas encontradas na natureza. A geometria fractal, em destaque a dimensão fractal, tem utilização em varias áreas cientificas, como no estudo dos sistemas caóticos, reconhecimento de padrões em imagens, tecnologia, ciências, artes e música, etc.
O fractal é uma estrutura geométrica ou fisica, e geralmente são muito similares em diferentes níveis de escala, porem nos fractais naturais essa característica é limitada em função da escala. O objeto é composto por partes reduzidas com forma semelhantes à dele próprio. O nome deriva do Latim fractus, que significa quebrado ou fraturado. Varias estruturas naturais são do tipo fractal, são igualmente complexas no detalhe e na forma global. A dimensão de um fractal não é necessariamente um número inteiro, podendo ter dimensão fracionaria. A maioria não se enquadra nas definições tradicionais, e gera duvida em relação a comprimento, área e volume destas entidades matemáticas. Com a ampliação dos fractais eles não perdem definição, porque sempre possuem estrutura idêntica com a original.
Entre 1857 e 1913 um grupo de cientistas realizou um trabalho que catalogava alguns objetos como “demônios” por julgarem que não teriam significativo valor para a ciência. A partir deste trabalho surge a ideia de fractal. O desenvolvimento científico em relação aos fractais teve um aceleramento a partir dos anos 60 em consequência da computação, pois criou vários tipos de fractais.
Os primeiros fractais estudados foram o conjunto de Cantor, floco de neve de Koch e o triângulo de Sierpinski.
Os fractais podem ser obtidos geometricamente ou aleatoriamente, através de processos recursivos, os quais podem apresentar características encontradas em formas da natureza.
Os fractais estão em vários lugares. Existem muitos objetos naturais que são considerados fractais naturais devido ao seu comportamento ou estrutura, mas estes são tipo de fractais finitos o que os distingue dos fractais de tipo matemático criado por interações recursivas. Citamos como exemplo as nuvens e arvores.
A humanidade transita há um bom tempo por fronteiras que mexem profundamente com a vida neste planeta. Organismos geneticamente modificados, clonagens, fissão nuclear e nanotecnologia são apenas algumas amostras desse poder nunca antes desfrutado por nós. Mas será que temos o discernimento para usá-lo bem? A maioria dos exemplos colhidos nos últimos tempos mostra que, embora a ciência tenha atingido o estágio de manipular muitos dos padrões naturais da vida, falta-lhe ainda compreendê-los de forma integrada para conduzir essas manipulações com a devida responsabilidade.
Um ramo antigo do conhecimento pode dar aos pesquisadores essa perspectiva holística tão necessária: a geometria sagrada. Conhecida literalmente como “a sagrada medida da Terra”, a expressão designa os fundamentos arquetípicos espirituais por trás de obras-primas da arquitetura, mas ela vai muito além disso: suas aplicações chegam, por exemplo, à física e à medicina. Como lembra um de seus maiores estudiosos atuais, o médico norte-americano Robert J. Gilbert, todas elas se baseiam num único princípio: “Tudo tem um padrão, e esse padrão é a chave para criar um efeito específico.”
Esses padrões – entre os quais figuram formatos, modelos, ritmos e proporções – integram o repertório que permite à natureza expressar-se e, se necessário, mudar. Ela utiliza, por exemplo, o círculo e a esfera como o invólucro fundamental para a energia e a consciência, e a forma de vórtice para espalhar e transmitir energia e consciência de um ponto para outro. Outras formas frequentes na geometria sagrada são a curva senoidal, a espiral áurea (obtida pela união de vários semicírculos e presente, por exemplo, no caramujo e na flor do girassol), os cinco sólidos platônicos, a vesica piscis (“bexiga do peixe” ou “Olho de Deus”, resultante do encontro de dois círculos e perceptível no DNA e nas células) e o hipercubo (o cubo quadridimensional).
Segundo Robert Gilbert, a geometria sagrada oferece uma base sólida não só para o conhecimento tradicional, mas também para o científico – o que a torna uma ciência indiscutivelmente holística
São incontáveis os exemplos dessas formas na arquitetura e na arte de diversas culturas. O círculo megalítico de Stonehenge, na Grã- Bretanha, as pirâmides egípcias, a ciência pitagórica das energias vibracionais, os labirintos em mosaicos dos romanos, a catedral de Chartres, na França, as mandalas e yantras asiáticas, as pinturas na areia dos índios norte-americanos – todas essas obras demonstram que seus criadores conheciam os princípios da geometria sagrada.
Segundo Gilbert, ao estudar padrões e suas interconexões, a geometria sagrada fornece uma base sólida tanto para o conhecimento científico como para o tradicional. É, portanto, uma ciência indiscutivelmente holística, capaz de elevar o saber humano a níveis ainda não alcançados.
Nesse ramo do conhecimento, o ponto de partida é a figura mais simples da criação: a esfera, o sólido cujos pontos de sua superfície estão todos à mesma distância de um ponto interior central. Sua representação bidimensional é o símbolo espiritual clássico do círculo com um ponto no centro. Gilbert observa que a natureza utiliza a forma da esfera, desde as células do corpo até os planetas, como o recipiente básico da energia e da consciência. Os mestres construtores antigos consideravam a rotação do compasso ao redor de um ponto central como uma recriação ritual da origem do mundo, que estabelecia a primeira fronteira entre dentro e fora, e a usavam para erguer templos e outros exemplos de arquitetura sagrada.
A esfera marca a origem de diversos outros padrões importantes. Entre eles estão cinco maneiras “perfeitas” de dividir uma esfera em formas tridimensionais totalmente simétricas (ver quadro abaixo). Com isso, todas as faces desses sólidos geométricos (ou poliedros) são formadas por polígonos iguais entre si e o mesmo número de faces encontra-se em todos os vértices. São os sólidos platônicos, segundo a descrição dos antigos gregos (mas sabe-se que esse conhecimento é ainda mais remoto – escavações na Escócia mostraram que os povos que ali habitavam trabalhavam o conceito pelo menos mil anos antes dos conterrâneos de Platão).
A espiral áurea, forma geométrica sagrada composta pela união de diversos semicírculos, está presente no corpo do caramujo
Para Platão, esses sólidos correspondiam aos padrões essenciais da criação física. Quatro deles – o tetraedro, o cubo, o octaedro e o icosaedro – eram considerados os padrões arquetípicos por trás dos quatro elementos primordiais (respectivamente, fogo, terra, ar e água); o quinto, o dodecaedro, era visto como o padrão por trás do éter, a energia vital dos gregos. Essa importância do dodecaedro levou Pitágoras e seus discípulos a mantê-lo em segredo, por temer o poder destrutivo de tal padrão se ele fosse mal utilizado.
Cerca de 25 séculos depois dos gregos, a ciência moderna revelou que os sólidos platônicos correspondem aos “tijolos” usados na construção do mundo físico. Segundo Gilbert, isso pode ser constatado em livros que abordam a Tabela Periódica dos Elementos. Ele destaca sobretudo um modelo da Tabela Periódica desenvolvido na década de 1980 por Robert Moon, professor emérito de física da Universidade de Chicago, no qual todos os elementos – ou seja, tudo existente no mundo físico – são apresentados nas formas desses sólidos. A conclusão vem naturalmente, assinala o estudioso: “(...) a essência da criação é a geometria: mude o número das partes do átomo e o formato configurado resultante muda, enquanto, alquimicamente, um elemento diferente emerge.”
O dodecaedro faz algumas aparições intrigantes nos estudos científicos modernos. Gilbert lembra, por exemplo, a conclusão de pesquisadores russos (descrita no artigo “Is the Earth a Large Crystal?”, publicado na revista Khimiya i Zhizn, ou Química e Vida, de dezembro de 1973) de que a crosta terrestre possui um padrão dodecaédrico – algo que Platão já sugeria em seu tempo, ao afirmar que a Terra, vista de cima, lembrava uma “bola de couro com 12 lados”.
Divisões da esfera
Os cinco sólidos platônicos dos gregos e o elemento ao qual estão relacionados
TETRAEDRO (Fogo)
Quatro faces triangulares,
6 arestas e 4 vértices.
CUBO ou HEXAEDRO (Terra)
Seis faces quadradas,
12 arestas e 8 vértices.
OCTAEDRO (Ar)
oito faces triangulares, 12 arestas e 6 vértices.
DODECAEDRO (Éter)
doze faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices.
ICOSAEDRO (Água)
Vinte faces triangulares,
30 arestas e 12 vértices.
Outro detalhe chamativo: na Tabela Periódica de Moon, a forma que contém todas as outras dentro de si é o dodecaedro, presente no paládio, o elemento 46. Esse metal branco prateado, pertencente ao grupo da platina, é conhecido na engenharia química como um catalisador, uma substância cuja presença provoca determinadas transformações que não a alteram quimicamente no final do processo.
Em 2006, a revista inglesa New Scientist publicou um artigo sobre um método criado por pesquisadores da Universidade da Pensilvânia para decompor compostos químicos letais (por exemplo, o gás nervoso). A novidade estava exatamente na participação do paládio no processo químico: com ele, as substâncias químicas letais deixavam de ser perigosas. Os descobridores do método não sabiam explicar a razão de seu sucesso, mas os estudiosos de geometria sagrada não teriam dúvida em afirmar que ele se deve ao padrão dodecaédrico de energia vital pura.
Gilbert retira da Tabela Periódica de Moon outro exemplo rico em ensinamentos. O urânio, último elemento natural (de número 92), é representado como dois dodecaedros conectados que estão se destruindo, um processo que origina radiação nuclear tóxica. (A propósito, todos os elementos acima dele na Tabela Periódica são artificiais e liberam radiação potencialmente letal.) “Se Moon está certo”, observa Gilbert, “as modernas armas nucleares e o lixo radiativo estão diretamente relacionados às manipulações que afetam o padrão central do dodecaedro – mesmo se os cientistas não estiverem conscientes da conexão”. O potencial destrutivo de tais manipulações é uma justificativa mais do que razoável para o segredo com que as escolas espirituais do passado envolviam esse sólido.
Representações artísticas de dodecaedro (esquerda e direita acima) e icosaedro: as formas da geometria sagrada podem nos ajudar a entender melhor a natureza e a nós mesmos.
No entanto, se a ciência contemporânea conquistou a capacidade de promover mudanças nesses padrões sem demonstrar a responsabilidade necessária para tanto, já é hora de os ensinamentos da geometria sagrada deixarem as sombras. Afinal, lembra Gilbert, “todos nós seremos tocados em nossas vidas pelo sucesso ou fracasso global da humanidade em entender a geometria sagrada da matéria e do espírito”. E o campo de estudos é vastíssimo. Padrões de consciência, por exemplo, podem nos ajudar a entender melhor a natureza, a “alma do mundo”, a própria sociedade e seus integrantes incomuns, como xamãs e pessoas dotadas de poderes paranormais – além, certamente, de nos mostrarem um caminho de evolução interior. Padrões temporais, ou ritmos, estão por trás tanto dos processos circadianos que influenciam nosso corpo diariamente quanto das grandes eras astronômicas e astrológicas.
“A geometria sagrada nos dá insights vitais sobre as bases tanto do espírito como da matéria, insights que podem ser aplicados em propósitos científicos e espirituais”, afirma Gilbert. “Ela também nos permite curar a dolorosa divisão entre a espiritualidade e o entendimento científico, racional que tanto aflige nossa sociedade moderna e nossa própria alma.” É, enfim, uma poderosa ferramenta, capaz de unificar o conhecimento fragmentário e disperso que caracteriza a atual ciência e a impele, de certo modo, a dar tantos passos nebulosos.
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