Alunos do 2º ano E

Foi ótimo passar o ano junto com vocês! tivemos desafios, mas vocês superaram e mostraram o quanto cada um foi capaz. Um lindo ano a todos e muitas feliciadades. Deus abençoe vocês. Um grande beijo a todos.

Sistemas Lineares

Comendo Números 

A grande parte do  que se aprende na matemática pode ser aplicado no seu dia a dia, entenda como  sistemas lineares pode ajudá-lo a resolver problemas do seu cotidiano.

Sistemas Lineares, Definição: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares

Comendo Números/ Relatório do Vídeo.

Relatório do Vídeo Comendo Números.docx by dricaoliveira

Matrizes

Olá pessoal!  fim de semana e frio, dá uma vontade de comer doces não é mesmo? Que tal chocolates hummmm tudo de bom, mas cuidado com as calorias que você vai pagar para consumir, rsrs. Veja como matrizes resolve algumas escolhas no nosso dia a dia. Bom fim de semana a todos!

Polígonos no Cotidiano

Apresentação dos alunos do 7º ano do Colégio Shequiná.

Polígonos na Arte

Trabalho das alunas do 6º ano do Colégio Shequiná. Linda apresentação em Powerpoint, parabéns a elas!

Polígonos Da Arte by dricaoliveira

Escola da Família Alberto Cardoso

Trabalho lindo do Prof Gerry ! todos os fins de semana tem alegria e  muita diversão.

Museu Prandiano

Você sabia que em São Paulo bem próximo ao metrô Vila Mariana existe um museu da matemática? Sim existe! muito agradável ambiente que oferece além de cursos e palestras diversas curiosidades sobre a matemática, vale a pena conferir! Aproveite as férias e vá visitá-lo.


http://www.prandiano.com.br/html/fr_museu.htm

A maldição da pirâmide

Sexta feira 13, rsrsrs que tal falarmos sobre maldição?




Fontes: http://www.mundoeducacao.com/matematica/volume-piramide.htm
            http://pt.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A2mide

Operações com Matrizes

2ª Atividade de Matrizes by dricaoliveira

Equações

exercicios 2 equações by dricaoliveira

Monômios

exercicio 2 monomios by dricaoliveira

Geometria na natureza

Lindos trabalhos dos alunos da Escola Municipal Rodrigues Alves

1ª Atividade de Matrizes

1ª Atividade de Matrizes by dricaoliveira

A HISTÓRIA DOS NÚMEROS PRIMOS - Documentário (2007)

A História do Número 1 - Como Tudo Começou

A História da Matemática 1 - A Linguagem do Universo

A História da Matemática 4 - Além do Infinito

A História da Matemática 3 - As Fronteiras do Espaço

A História da Matemática 2 - O Gênio do Oriente

Números Negativos

Introdução

A curiosidade de alguns estudantes tanto do ensino fundamental ou médio sobre a história dos números e especialmente a dos números negativos, incentivou-me a pesquisar sobre o assunto, e daí surgiu a idéia de neste artigo caminhar na linha do tempo de 300 a .C. ao século XX.

Mostrando que entre a aparição e aceitação do número negativo levou mais de 1000 anos.

É interessante que os alunos saibam que as mesmas dúvidas que aparecem hoje no contato com os números inteiros, já instigava questionamentos de célebres matemáticos como Euler, Laplace, Cauchy, Mac Laurin e Carnot, por exemplo.

Laplace (1749-1827) com respeito a Regra de Sinais disse:

"É difícil conceber que um produto de (-a) por (-b) é o mesmo que a por b".

Mac Laurin (1698-1746) disse a respeito do número negativo: "A quantidade negativa, bem longe de ser rigorosamente menos que nada, não é menos real em sua espécie que a quantidade positiva".

O Surgimento do número negativo

Ao contrário dos números naturais e fracionários positivos que tem raízes em experimentações geométricas, os números negativos , os irracionais e os complexos surgiram da manipulação algébrica, como na resolução de equações de 1º e 2º graus.

Os matemáticos do período Alexandrino que se iniciou 300 a.C., influenciados pela civilização egípcia e babilônica, fizeram uma matemática mais orientada para resolver problemas práticos, abordavam temas de óptica, geografia, hidrodinâmica e astronomia.

Nestes trabalhos utilizaram números irracionais com aproximações e iniciaram uma álgebra sem usar a geometria. Foi Diofanto (300 à 250 a.C.) que introduziu uma notação abreviada para representar as potências e as quantidades desconhecidas e abordou a resolução das equações algébricas sem recorrer à geometria.

Assim o produto concreto do tipo (x-3) (x-4) foi desenvolvido algebricamente , o que há de supor que ele conhecia a identidade algébrica (a-b) (c-d)=ac-bc-ad+bd.

É citado uma regra para este produto de diferenças que pode ser considerada como o "germem" do que pode ser chamado de regra de sinais: "Subtração por subtração dá adição".

Isto não significa que conhecesse os números negativos, pois esta regra se refere ao produto de diferenças e sempre a>b e c>d , e não há produto de números negativos. Diofanto considerava somente as raízes positivas das equações, mostrando o seu desconhecimento pelos números negativos.

Civilização hindu - Invenção do número negativo

A grande contribuição dos hindus para a matemática foi a criação de um sistema de numeração posicional de base dez, cuja eficácia e simplicidade para o cálculo aritmético se estendera universalmente.

A necessidade de agilizar os cálculos astronômicos os sábios hindus se preocupavam por idealizar formas de representação numérica que simplificassem esse cálculos.

Os matemáticos hindus mostraram ser virtuosos no cálculo aritmético e algébrico que permitiram conceber um novo tipo de símbolo para representar dívidas que posteriormente o Ocidente chamariam de negativo.

A primeira vez que explicitamente as regras que regem a aritmética com os números negativos aparecem em uma obra foi na do matemático Brahmagupta que data do ano 628 d.C. Não só utilizou os negativos em seus cálculos como os considerou entidades separadas e os dotou de uma aritmética concordante com a dos inteiros.

Muitos séculos se passaram para que o interesse pelos números negativos fosse retomado.

Civilização árabe - Os negativos ignorados

O ano de 622 d.C. marca o início da era muçulmana e o começo da expansão do estado islâmico. Após um século os árabes começaram a se interessar pela cultura dos povos conquistados.

Al-Kwrizmi foi um matemático que alcançou maior popularidade, morrendo em 850 d.C.

Ele escreveu tratados de astronomia, livros de álgebra e aritmética que tiveram muita influência na matemática européia no final da Idade Média e no Renascimento.

Alguns historiadores escreveram que foram problemas com dinheiro que interpretaram o número negativo como perda.

Negativo - esta palavra pode ter vindo desta época que eram os valores NEGADOS quando se obtinha raízes negativas de uma equação.

Renascimento

No Renascimento abriu-se uma nova etapa para os números negativos.

Provavelmente foi no Renascimento que apareceu um número negativo ligado à uma equação algébrica, na obra do matemático francês Nicolás Chuquet (1445-1500). Se trata de seu "Triparty", escrita em 1484, que poderíamos dizer hoje 4x = -2 . Não existia os símbolos "x", "=", "-".

Stevin (1548-1620) aceita os números negativos como raízes e coeficientes de equações.

Admite a adição de x +(-y) em lugar de considerá-la como subtração de y á x. Também tratou de justificar geometricamente a regra de sinais fazendo uso da identidade algébrica: (a-b) (c-d)= ac-bc-ad+bd

Século XVII - com o nascimento das ciências modernas, amplia-se o uso dos números negativos. Aparece as primeiras intenções de legitimá-los.

Foi o matemático Albert Girard (1590-1639) o primeiro a reconhecer explicitamente a utilidade algébrica de admitir as raízes negativas e imaginárias como soluções formais das equações; porque ele permitia uma regra geral de resolução na construção de equações através de suas raízes.

No final do século XVII, surgiu a obra de Viéte, esta mais tarde ampliada admitiu que as expressões literais pudessem tomar valores negativos, no entanto, a Álgebra não teria conhecido um tal avanço se esta generalização do número não tivesse sido acompanhada por uma descoberta igualmente fundamental, realizada em 1591 por Viéte e aperfeiçoada em 1637 por Descartes: a notação simbólica literal.

Demonstração das Regras de Sinais para a multiplicação- Cauchy

1) a=+A 3) +a=+A 5) –a=-A

2) b=-A 4) +b=-A 6) –b= +A

Substituindo 1 em 3 temos:

+(+A) = +A + . + = +

Substituindo 2 em 4 temos:

+(-A) = -A + . - = -

Substituindo 1 em 5 temos:

-(+A)=-A - . + = -

Substituindo 2 em 6 temos:

-(-A)=+A - . - = +

A legitimidade dos números negativos deu-se definitivamente por Hermann Hankel (1839-1873) publicada em 1867, "Teoria do Sistema dos números Complexos". Hankel formulou o princípio de permanência e das leis formais que estabelece um critério geral de algumas aplicações do conceito de número.

Finalmente Dedekind (1831-1916), amigo de Cantor estabeleceu uma relação de equivalência entre pares de números naturais e faz referência da subtração como inversa da adição: a-b =c-d, logo a+d= b+d . Ele demonstra que esta relação é de equivalência, e o conjunto das classes de equivalência será o conjunto dos números Inteiros.

Foram os complexos os últimos a obterem legitimidade.

A fundamentação dos números complexos foi proporcionada por Hamiltom (1805-1865).

Profª Leda Maria Bastoni Talavera tem especialização em Educação Matemática pelas Faculdades Oswaldo Cruz leciona no Colégio Campos Salles (S.P.). Este artigo surgiu da reflexão coletiva do grupo de pesquisa em Educação Matemática da Escola do Futuro (USP), coordenado pela Drª Ruth Ribas Itacarambi.

Bibliografia:

Boyer B. C., "História da Matemática", 1996.

Ifrah G., "História Universal dos Algarismos", 1995.

Gonzalez J. L., Iriarte M., Jimeno M., Ortiz A., Ortiz A., Sanz E., Vargas-Machuca I., "Cultura e Aprendizagem - Números Inteiros", 1985.

Fonte: http://www.ccuec.unicamp.br/revista/infotec/artigos/leda.html

Raíz Quadrada, o que é isso?

Torre de Hanói

Fonte: http://www.ufrgs.br/psicoeduc/hanoi/

A Torre de Hanói é um "quebra-cabeça" que consiste em uma base contendo três pinos, em um dos quais são dispostos alguns discos uns sobre os outros, em ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O problema consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação. O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três.

A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e solução de problemas.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Han%C3%B3i

Tangram

Fonte:http://rachacuca.com.br/jogos/tangram/

Tangram

Tangram é um puzzle chinês muito antigo, o nome significa "Tábua das 7 sabedorias". Ele é composto de sete peças (chamadas de tans) que podem ser posicionadas de maneira a formar um quadrado: 5 triângulos de vários tamanhos, 1 quadrado e 1 paralelogramo.

Neste puzzle deve-se seguir duas regras: usar todas as peças e não sobrepor as peças.

A Mais Bela das Matemáticas

O vídeo acima, Matemática Humanista, descobri por acaso no You Tude, através de vídeos correlatos e trata-se de uma fala do educador Carlos Eduardo Mathias Motta, feita ao TED, (Tecnologia, Entretenimento, Design - fundação privada sem fins lucrativos dos Estados Unidos1 mais conhecida por suas conferências na Europa, Ásia e Estados Unidos destinadas à disseminação de ideias. Segundo as palavras da própria organização, "ideias que merecem ser disseminadas".2 Suas apresentações são limitadas a dezoito minutos, e os vídeos são amplamente divulgados na Internet.) 

O professor Mathias, de forma tranquila, divertida e comovente, demonstra como utiliza-se da música para ensinar matemática, usando de sons e ritmos, inclusive com alunos cegos, em um projeto, que contou com o toque (batida) no corpo para que os deficientes visuais pudessem compreender sua forma peculiar de ensinar. 

Como o Educa Tube sempre destaca: "Há uma matemática nas letras e orações e uma gramática nos números e equações". Agora, precisa ampliar estes versos, incorporando a noção de que há um ritmo unindo Música e Matemática. E se pensarmos a música como uma linguagem universal, que todos compreendem sua sonoridade e mensagem, mesmo que não se entenda o idioma cantado, a música, como qualquer outra manifestação artística e cultural, poderá ser uma grande aliada do educador.

Fonte: http://educa-tube.blogspot.com.br/2013/10/matematica-humanista-por-carlos-eduardo.html

Matemática no Espaço Sideral

Matemática na Comunicação

Matemática na Música sempre

Matemática nas Brincadeiras

Matemática no Esporte

Matemática na Saúde

Matemática na Alimentação

Matemática no Zoológico

Matemática no meio Ambiente

Matemática na Fábrica

Matemática no Transporte

Matemática na Cidade

Matemática na Agricultura

Geometria Não Euclidiana

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_n%C3%A3o_euclidiana

Em matemática, uma geometria não euclidiana é uma geometria baseada num sistema axiomático distinto da geometria euclidiana. Modificando o axioma das paralelas, que postula que por um ponto exterior a uma reta passa exatamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se as geometrias elíptica e hiperbólica. Na geometria elíptica não há nenhuma reta paralela à inicial, enquanto que na geometria hiperbólica existe uma infinidade de rectas paralelas à inicial que passam no mesmo ponto. Na geometria elíptica a soma dos ângulos internos de um triangulo é maior que dois ângulos retos, enquanto na geometria hiperbólica esta soma é menor que dois ângulos retos. Na hiperbólica temos que a circunferência de um círculo é menor do que PI vezes o seu diâmetro, enquanto na hiperbólica esta circunferência é maior que PI vezes o diâmetro.

O crédito pela descoberta das geometrias não euclidianas geralmente é atrelado às figuras dos matemáticos Carl Friedrich Gauss,Nikolai Lobachevsky, János Bolyai, e Bernhard Riemann.

Geometria Euclidiana

Fonte:   http://www.coladaweb.com/matematica/geometria-euclidiana

O grande organizador da geometria grega éEuclides (300 a.C.). A base da geometria euclidiana, que dominou de forma absoluta até o século XIX, tem como postulado a existência de apenas uma linha paralela a uma linha “m” que contém um dado ponto não pertencente à linha “m”.

Teorema de Pitágoras, o mais importante da geometria euclidiana, foi “descoberto” empiricamente pelos agricultores egípcios, e só posteriormente foi depurado do seu conteúdo empírico pelos geômetras gregos.

A identificação da geometria euclidiana como sendo a própria geometria do mundo.

Com o desenvolvimento das Ciências, começou a ficar claro que, por trás do mundo do dia-a-dia, existe um Universo mais vasto que só pode ser interpretado com a ajuda de uma geometria mais ampla. Todavia, até ao século XIX, a arquitetura lógica euclidiana serviu de modelo de estruturação de outros ramos do conhecimento, pois foi considerada altamente satisfatória. Há que referir como exceção o 5º postulado que, desde a Antigüidade, despertou a atenção de vários matemáticos, o que acabará por conduzir ao aparecimento de novas geometrias.

A origem da geometria que ainda hoje é ensinada nas escolas remonta à Antiguidade; considera-se que os povos gregos, obedecendo a motivações de ordem prática suscitada por atividades como a Astronomia, a Navegação e a Agricultura, desenvolveram técnicas adequadas para medir a terra, iniciando-se na geometria.

Durante séculos esse sistema valeu como modelo insuperável do saber dedutivo: os termos da teoria são introduzidos depois de terem sido definidos e as proposições não são aceitas se não foram demonstradas. As proposições primitivas, base da cadeia sobre a qual se desenvolvem as deduções sucessivas, Euclides as escolhia de tal modo que ninguém pudesse levantar dúvidas sobre a sua veracidade: eram auto-evidentes, portanto isentas de demonstração. Leibniz afirmaria mais tarde que os gregos raciocinavam com toda a exatidão possível em matemática e deixaram à humanidade modelos de arte demonstrativa.

Panorama histórico

No entanto, existe a certeza de que, devido a Euclides, os conceitos de geometria adquiriram forma cientifica na Grécia. Embora a sua origem se encontre no antigo Egito, local onde sentiu a necessidade de efetuarem medições da terra devido às inundações periódicas do rio Nilo.

Medir as terras para fixar os limites das propriedades era uma tarefa importante nas civilizações antigas, especialmente no Egito. Ali, as enchentes do Nilo derrubavam os marcos fixados no ano anterior, obrigando os proprietários a refazer os limites de suas áreas de cultivo. Os egípcios tornaram-se hábeis delimitadores de terras e devem Ter descoberto e utilizando inúmeros princípios úteis relativos às características de linhas, ângulos e figuras - como por exemplo, o de que a soma dos três ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, e o de que a área de um paralelogramo é igual à do retângulo que tenha a mesma base e a mesma altura.

Os antigos egípcios devem ter obtido esses princípios por intermédio da observação e da experimentação - isto é, por intermédio de um raciocínio indutivo, medindo formas e comparando resultados. Os egípcios se limitaram à acumulação de conhecimentos que os habilitavam a resolver problemas de traçado de limites, de comparação de áreas, de projetos arquitetônicos e de engenharia de construções.

Os gregos perceberam o que os egípcios eram capazes de fazer, e assimilaram seus princípios empíricos. A este conhecimento, os gregos deram o nome de geometria - isto é, medida da terra. Mas os gregos apreciavam a Geometria também em virtude de seu interesse teórico. Aos gregos não bastou o critério empírico; procuraram encontrar demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço, que governavam as aplicações práticas da Geometria. Alguns filósofos gregos, em particular Pitágoras e Platão, davam enorme importância intelectual à Geometria, considerando que em sua forma pura e abstrata ela se aproximava bastante da metafísica e da religião.

Biografia de Euclides

Euclides de Alexandria nasceu em 325 a.C. e morre em 265 a.C., foi um matemático grego, que ficou conhecido pelo seu mais famoso trabalho “Os Elementos”. Mto pouco sabe sobre sua vida, sabe-se que ensinou em Alexandria, no Egito, durante o reinado do Rei Ptolomeu (306-283 a.c.). Alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava Geometria e Álgebra, conseguindo assim atrair para suas lições públicas um grande número de discípulos.

É um dos mais influentes matemáticos gregos da Antiguidade. É possível que tenha aprendido matemática em Atenas, com os discípulos de Platão.

Euclides tornou-se professor e estudioso da escola em Alexandria conhecida como Museum. Enquanto esteve no Museum, ele escreveu seu trabalho de maior influência, os Elementos.

Fundou a primeira escola de matemática de Alexandria, onde havia a biblioteca mais impressionante da Antiguidade, onde havia cerca de 700.000 volumes e foi ai que suas obras tomaram forma.

Como Euclides escreveu “Os Elementos”, que é usado a mais de 2.000 anos, esse lhe rendeu o título de “Pai da Geometria”.

Obras de Euclides

Estes livros e a bíblia são provavelmente os livro mais reproduzidos e estudados na história do mundo ocidental.

Como todos sabem, sua obra Stoichia (Os Elementos, 300 a.c), foi sua mais famosa. Essa obra consiste em uma obra de treze volumes, escrita em grego, que cobria toda aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego, reunindo o trabalho de seus predecessores, como Hipócrates e Eudóxio, sistematizava todo o conhecimento geométrico dos antigos e intercalava os teoremas já conhecidos então com a demonstração de mtos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado. são os livros mais difundidos da história. Mais de mil edições foram impressas desde a primeira versão impressa de 1482 e, mesmo antes desta data, foram os textos básicos da matemática padrão do ocidente. A qualidade das definições e o desenvolvimento axiomático da aritmética evoluíram muito desde a época de Euclides porém, o valor fundamental dos textos euclidianos é difícil de ser superado

Nos Elementos, Euclides chama "postulados" as leis que não podem ser demonstradas, que tratam de retas, ângulos, e figuras - logo são consideradas verdadeiras, e utilizadas para demonstrar as outras leis geométricas. As leis demonstráveis são chamadas "teoremas" ou "proposições".

Foi o texto mais influente de todos os tempos e com maior número de edições publicadas, tão marcante que seus sucessores o chamavam de “o elementador”.

O tratado começa sem introdução ou preâmbulo, com definições “postulados e axiomas”, que os modernos denominam ser pressuposições. A seguir vêm as proposições, apresentadas e demonstradas com grande rigor e rara clareza, com base nos pressupostos. A complexidade é crescente e à medida que o texto avança as proposições se apóiam em pressupostos e proposições anteriormente demonstrados.

Geometria Descriptiva

O que é a Geometria Descritiva?

Quando vamos ao cinema, quando vemos imagens na televisão, quando folheamos uma revista, ou um livro com gravuras, não nos preocupamos com a natureza das imagens que estamos a "visualizar".

As figuras são planas, mas os objectos que se apresentam diante de nós, são visualizados como tendo três dimensões. Isto parece-nos tão natural que não reflectimos sobre este facto:

numa superfície plana, bidimensional, estão representados objectos tridimensionais.

Desde a pré -história, o problema da representação plana de objectos a três dimensões, esteve sempre presente. Tudo começou quando o homem teve a ideia de traçar sobre uma rocha, figuras humanas, animais ou simples grafismos, no interior das cavernas ou mesmo ao ar livre como podemos apreciar aqui em Portugal no Vale do Coa.

Podemos pois dizer que o desenho tem ocupado, desde as épocas mais remotas, um papel importante como meio de expressão e comunicação entre seres humanos.

A evolução das técnicas e dos suportes possibilitou as diversas formas de desenho que se adaptaram melhor às necessidades criativas dos homens.

Fonte: http://oliveiros.tripod.com/gdesc1.htm

Geometria Fractal

A geometria fractal estuda as propriedades e comportamentos de figuras mais complexas que a geometria euclidiana (ou dimensão topológica) abrange, descreve situações que não podem ser descritas pela geometria euclidiana, por esta falhar nesses casos. A geometria euclidiana falha na descrição de formas encontradas na natureza. A geometria fractal, em destaque a dimensão fractal, tem utilização em varias áreas cientificas, como no estudo dos sistemas caóticos, reconhecimento de padrões em imagens, tecnologia, ciências, artes e música, etc.

O fractal é uma estrutura geométrica ou fisica, e geralmente são muito similares em diferentes níveis de escala, porem nos fractais naturais essa característica é limitada em função da escala. O objeto é composto por partes reduzidas com forma semelhantes à dele próprio. O nome deriva do Latim fractus, que significa quebrado ou fraturado. Varias estruturas naturais são do tipo fractal, são igualmente complexas no detalhe e na forma global. A dimensão de um fractal não é necessariamente um número inteiro, podendo ter dimensão fracionaria. A maioria não se enquadra nas definições tradicionais, e gera duvida em relação a comprimento, área e volume destas entidades matemáticas. Com a ampliação dos fractais eles não perdem definição, porque sempre possuem estrutura idêntica com a original.

Entre 1857 e 1913 um grupo de cientistas realizou um trabalho que catalogava alguns objetos como “demônios” por julgarem que não teriam significativo valor para a ciência. A partir deste trabalho surge a ideia de fractal. O desenvolvimento científico em relação aos fractais teve um aceleramento a partir dos anos 60 em consequência da computação, pois criou vários tipos de fractais.

Os primeiros fractais estudados foram o conjunto de Cantor, floco de neve de Koch e o triângulo de Sierpinski.

Os fractais podem ser obtidos geometricamente ou aleatoriamente, através de processos recursivos, os quais podem apresentar características encontradas em formas da natureza.

Os fractais estão em vários lugares. Existem muitos objetos naturais que são considerados fractais naturais devido ao seu comportamento ou estrutura, mas estes são tipo de fractais finitos o que os distingue dos fractais de tipo matemático criado por interações recursivas. Citamos como exemplo as nuvens e arvores.

Fontes:
http://www.infoescola.com/matematica/geometria-fractal/

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_fractal

http://www.cienciateca.com/fractales.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal

http://www.fractovia.org/art/es/what_es5.shtml

Sites para baixar livros de graça

PROJETO GUTENBERG: http://www.gutenberg.org/


BIBLIOTECA DIGITAL CAMÕES:  http://cvc.instituto-camoes.pt/conhecer/biblioteca-digital-camoes.html


PORTAL COMÍNIO PÚBLICO: http://www.dominiopublico.gov.br/


BIBLIOTECA DIGITAL MUNDIAL: http://www.wdl.org/pt/

Geometria Sagrada

Fonte: http://revistaplaneta.terra.com.br/secao/espiritualidade/geometria-sagrada-no-mundo-das-formas-perfeitas

A humanidade transita há um bom tempo por fronteiras que mexem profundamente com a vida neste planeta. Organismos geneticamente modificados, clonagens, fissão nuclear e nanotecnologia são apenas algumas amostras desse poder nunca antes desfrutado por nós. Mas será que temos o discernimento para usá-lo bem? A maioria dos exemplos colhidos nos últimos tempos mostra que, embora a ciência tenha atingido o estágio de manipular muitos dos padrões naturais da vida, falta-lhe ainda compreendê-los de forma integrada para conduzir essas manipulações com a devida responsabilidade.

Um ramo antigo do conhecimento pode dar aos pesquisadores essa perspectiva holística tão necessária: a geometria sagrada. Conhecida literalmente como “a sagrada medida da Terra”, a expressão designa os fundamentos arquetípicos espirituais por trás de obras-primas da arquitetura, mas ela vai muito além disso: suas aplicações chegam, por exemplo, à física e à medicina. Como lembra um de seus maiores estudiosos atuais, o médico norte-americano Robert J. Gilbert, todas elas se baseiam num único princípio: “Tudo tem um padrão, e esse padrão é a chave para criar um efeito específico.”

Esses padrões – entre os quais figuram formatos, modelos, ritmos e proporções – integram o repertório que permite à natureza expressar-se e, se necessário, mudar. Ela utiliza, por exemplo, o círculo e a esfera como o invólucro fundamental para a energia e a consciência, e a forma de vórtice para espalhar e transmitir energia e consciência de um ponto para outro. Outras formas frequentes na geometria sagrada são a curva senoidal, a espiral áurea (obtida pela união de vários semicírculos e presente, por exemplo, no caramujo e na flor do girassol), os cinco sólidos platônicos, a vesica piscis (“bexiga do peixe” ou “Olho de Deus”, resultante do encontro de dois círculos e perceptível no DNA e nas células) e o hipercubo (o cubo quadridimensional).

Segundo Robert Gilbert, a geometria sagrada oferece uma base sólida não só para o conhecimento tradicional, mas também para o científico – o que a torna uma ciência indiscutivelmente holística

São incontáveis os exemplos dessas formas na arquitetura e na arte de diversas culturas. O círculo megalítico de Stonehenge, na Grã- Bretanha, as pirâmides egípcias, a ciência pitagórica das energias vibracionais, os labirintos em mosaicos dos romanos, a catedral de Chartres, na França, as mandalas e yantras asiáticas, as pinturas na areia dos índios norte-americanos – todas essas obras demonstram que seus criadores conheciam os princípios da geometria sagrada.

Segundo Gilbert, ao estudar padrões e suas interconexões, a geometria sagrada fornece uma base sólida tanto para o conhecimento científico como para o tradicional. É, portanto, uma ciência indiscutivelmente holística, capaz de elevar o saber humano a níveis ainda não alcançados.

Nesse ramo do conhecimento, o ponto de partida é a figura mais simples da criação: a esfera, o sólido cujos pontos de sua superfície estão todos à mesma distância de um ponto interior central. Sua representação bidimensional é o símbolo espiritual clássico do círculo com um ponto no centro. Gilbert observa que a natureza utiliza a forma da esfera, desde as células do corpo até os planetas, como o recipiente básico da energia e da consciência. Os mestres construtores antigos consideravam a rotação do compasso ao redor de um ponto central como uma recriação ritual da origem do mundo, que estabelecia a primeira fronteira entre dentro e fora, e a usavam para erguer templos e outros exemplos de arquitetura sagrada.

A esfera marca a origem de diversos outros padrões importantes. Entre eles estão cinco maneiras “perfeitas” de dividir uma esfera em formas tridimensionais totalmente simétricas (ver quadro abaixo). Com isso, todas as faces desses sólidos geométricos (ou poliedros) são formadas por polígonos iguais entre si e o mesmo número de faces encontra-se em todos os vértices. São os sólidos platônicos, segundo a descrição dos antigos gregos (mas sabe-se que esse conhecimento é ainda mais remoto – escavações na Escócia mostraram que os povos que ali habitavam trabalhavam o conceito pelo menos mil anos antes dos conterrâneos de Platão).

A espiral áurea, forma geométrica sagrada composta pela união de diversos semicírculos, está presente no corpo do caramujo

Para Platão, esses sólidos correspondiam aos padrões essenciais da criação física. Quatro deles – o tetraedro, o cubo, o octaedro e o icosaedro – eram considerados os padrões arquetípicos por trás dos quatro elementos primordiais (respectivamente, fogo, terra, ar e água); o quinto, o dodecaedro, era visto como o padrão por trás do éter, a energia vital dos gregos. Essa importância do dodecaedro levou Pitágoras e seus discípulos a mantê-lo em segredo, por temer o poder destrutivo de tal padrão se ele fosse mal utilizado.

Cerca de 25 séculos depois dos gregos, a ciência moderna revelou que os sólidos platônicos correspondem aos “tijolos” usados na construção do mundo físico. Segundo Gilbert, isso pode ser constatado em livros que abordam a Tabela Periódica dos Elementos. Ele destaca sobretudo um modelo da Tabela Periódica desenvolvido na década de 1980 por Robert Moon, professor emérito de física da Universidade de Chicago, no qual todos os elementos – ou seja, tudo existente no mundo físico – são apresentados nas formas desses sólidos. A conclusão vem naturalmente, assinala o estudioso: “(...) a essência da criação é a geometria: mude o número das partes do átomo e o formato configurado resultante muda, enquanto, alquimicamente, um elemento diferente emerge.”

O dodecaedro faz algumas aparições intrigantes nos estudos científicos modernos. Gilbert lembra, por exemplo, a conclusão de pesquisadores russos (descrita no artigo “Is the Earth a Large Crystal?”, publicado na revista Khimiya i Zhizn, ou Química e Vida, de dezembro de 1973) de que a crosta terrestre possui um padrão dodecaédrico – algo que Platão já sugeria em seu tempo, ao afirmar que a Terra, vista de cima, lembrava uma “bola de couro com 12 lados”.

Divisões da esfera

Os cinco sólidos platônicos dos gregos e o elemento ao qual estão relacionados

TETRAEDRO (Fogo)

Quatro faces triangulares,

6 arestas e 4 vértices.

CUBO ou HEXAEDRO (Terra)

Seis faces quadradas,

12 arestas e 8 vértices.

OCTAEDRO (Ar)

oito faces triangulares, 12 arestas e 6 vértices.

DODECAEDRO (Éter)

doze faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices.

ICOSAEDRO (Água)

Vinte faces triangulares,

30 arestas e 12 vértices.

Outro detalhe chamativo: na Tabela Periódica de Moon, a forma que contém todas as outras dentro de si é o dodecaedro, presente no paládio, o elemento 46. Esse metal branco prateado, pertencente ao grupo da platina, é conhecido na engenharia química como um catalisador, uma substância cuja presença provoca determinadas transformações que não a alteram quimicamente no final do processo.

Em 2006, a revista inglesa New Scientist publicou um artigo sobre um método criado por pesquisadores da Universidade da Pensilvânia para decompor compostos químicos letais (por exemplo, o gás nervoso). A novidade estava exatamente na participação do paládio no processo químico: com ele, as substâncias químicas letais deixavam de ser perigosas. Os descobridores do método não sabiam explicar a razão de seu sucesso, mas os estudiosos de geometria sagrada não teriam dúvida em afirmar que ele se deve ao padrão dodecaédrico de energia vital pura.

Gilbert retira da Tabela Periódica de Moon outro exemplo rico em ensinamentos. O urânio, último elemento natural (de número 92), é representado como dois dodecaedros conectados que estão se destruindo, um processo que origina radiação nuclear tóxica. (A propósito, todos os elementos acima dele na Tabela Periódica são artificiais e liberam radiação potencialmente letal.) “Se Moon está certo”, observa Gilbert, “as modernas armas nucleares e o lixo radiativo estão diretamente relacionados às manipulações que afetam o padrão central do dodecaedro – mesmo se os cientistas não estiverem conscientes da conexão”. O potencial destrutivo de tais manipulações é uma justificativa mais do que razoável para o segredo com que as escolas espirituais do passado envolviam esse sólido.

Representações artísticas de dodecaedro (esquerda e direita acima) e icosaedro: as formas da geometria sagrada podem nos ajudar a entender melhor a natureza e a nós mesmos.

No entanto, se a ciência contemporânea conquistou a capacidade de promover mudanças nesses padrões sem demonstrar a responsabilidade necessária para tanto, já é hora de os ensinamentos da geometria sagrada deixarem as sombras. Afinal, lembra Gilbert, “todos nós seremos tocados em nossas vidas pelo sucesso ou fracasso global da humanidade em entender a geometria sagrada da matéria e do espírito”. E o campo de estudos é vastíssimo. Padrões de consciência, por exemplo, podem nos ajudar a entender melhor a natureza, a “alma do mundo”, a própria sociedade e seus integrantes incomuns, como xamãs e pessoas dotadas de poderes paranormais – além, certamente, de nos mostrarem um caminho de evolução interior. Padrões temporais, ou ritmos, estão por trás tanto dos processos circadianos que influenciam nosso corpo diariamente quanto das grandes eras astronômicas e astrológicas.

“A geometria sagrada nos dá insights vitais sobre as bases tanto do espírito como da matéria, insights que podem ser aplicados em propósitos científicos e espirituais”, afirma Gilbert. “Ela também nos permite curar a dolorosa divisão entre a espiritualidade e o entendimento científico, racional que tanto aflige nossa sociedade moderna e nossa própria alma.” É, enfim, uma poderosa ferramenta, capaz de unificar o conhecimento fragmentário e disperso que caracteriza a atual ciência e a impele, de certo modo, a dar tantos passos nebulosos.

A música dos números primos

A Música dos Números Primos

Marcus Du Sautoy

2.5 Mb

Numa narrativa rica e abrangente, A música dos números primos conta a história de um dos maiores problemas da matemática, que culminou, em meados do século XIX, com uma hipótese do alemão Bernhard Riemann: era possível haver harmonia entre os números primos, semelhante a uma harmonia musical. A partir de então, as mentes mais ambiciosas da matemática embarcaram nessa procura que parece não ter fim.

O relato desse verdadeiro Santo Graal da matemática, feito pelo brilhante professor de Oxford Marcus du Sautoy, também pesquisador da Royal Society, aparece aqui pontilhado de casos interessantes e retratos pitorescos dos personagens que, desde Euclides, se envolveram nesse estranho mistério.

Download  do livro

Fonte: http://baixelivros.org/2013/04/a-musica-dos-numeros-primos-marcus-du-sautoy/

JOGOS ONLINE

Adição de Números Relativos
Fonte: http://www.rpedu.pintoricardo.com/jogos/Jogo_adicao_com_ranking_pronto/num_int_rel_com_ranking.html

Aritmética
Fonte: http://rachacuca.com.br/jogos/aritmetica/

Calculando
Fonte: http://rachacuca.com.br/jogos/calculando/

Competando os números
Fonte: http://www.escolagames.com.br/jogos/completandoNumeros/

Jogo das Diferenças
Fonte: http://clientes.netvisao.pt/mcharrao/jogoseducativos/jogodiferencas.htm

Multiplicação dos Números inteiros Relativos
Fonte: http://www.rpedu.pintoricardo.com/jogos/Jogo_multipl_com_ranking_pronto/multiplicacao.html

Números Complementares
Fonte: http://rachacuca.com.br/jogos/numeros-complementares/

Palitos
Fonte: http://rachacuca.com.br/jogos/palitos/

Quadrado Mágico
Fonte: http://rpedu.pintoricardo.com/Problemas_com_numeros/quadrado_magico.php

Sudoku
Fonte: http://www.rpedu.pintoricardo.com/jogos/sudoku-original/sudoku-original.htm

Divisores em linha

Divisores em Linha

MATERIAL: Dois tabuleiros, dois dados e marcadores

- Tabuleiros para amplicação - versão pdf -

OBJETIVO: Colocar 4 marcadores seguidos na horizontal, vertical ou diagonal.

COMO JOGAR:
1. Cada jogador (ou dupla) escolhe um dos tabuleiros.
2. Cada jogador, alternadamente, lança dois dados, um de cada vez, sendo o primeiro algarismo da dezena e o segundo da unidade.
3. Em seguida, o jogador põe um marcador sobre um dos números do seu tabuleiro, que seja divisor do número obtido no lançamento dos dois dados.
4. O jogador perde a vez quando;
    • Colocar o seu marcador em uma das casas do tabuleiro com um número que não é divisor do número obtido nos dados, ou
    • Se não houver possibilidades de marcar um número no tabuleiro.
5. Ganha o jogo quem colocar 4 marcadores seguidos, na horizontal, vertical ou diagonal.

Fonte: http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/pages/jogos/divisores_em_linha.htm

Pescaria de Potências

Pescaria de potências

Neste jogo são trabalhados o conceito de potência, sua notação e o cálculo mental.

Organização da classe: grupos de três a quatro jogadores

Recursos necessários: um baralho para cada grupo de 60 cartas, conforme MODELO.

Regras

1 – As cartas são embaralhadas e cada jogador deve receber cinco cartas. As demais ficam no centro da mesa (o lago), com as faces voltadas para baixo, formando o jogo da pescaria.

2 – Inicialmente, os jogadores formam todos os pares possíveis com as cartas que receberam e os colocam à sua frente, de modo que todos os jogadores possam ver o par formado.

3 – Decide-se quem joga. Joga-se no sentido horário.

4 – Cada jogador, na sua vez, pede para o seguinte a carta que desejar, tentando formar um par com as cartas que tem em mãos. Ele pode pedir em forma de potência ou como um número natural. Por exemplo, se o jogador A tiver na mão 52 ele deve tentar conseguir o 25 para formar um par. Ele, então diz ao próximo: “eu quero 25”. Se o colega tiver essa carta, deve entregá-la ao jogador A que pediu a carta. O jogador A forma o par e coloca em seu monte. Se o colega não possuir essa carta ele diz “pesquei”. O jogador A deve pegar uma carta do centro da mesa, do lago (que estarão com as faces voltadas para baixo), se conseguir formar um par, coloca-o sobre seu monte. Se não conseguir, fica com a carta na mão e o jogo prossegue.

5 – O jogo acaba quando terminarem as cartas do lago, ou quando não for mais possível formar pares.

6 – Não é permitido blefar, se uma carta for pedida a um jogador e ele a possuir, deve entrega-la sob a pena de sair do jogo.

7 – Ganha o jogo o jogador que, ao final, tiver o maior número de pares em seu monte.

Fonte: http://tudodemat.blogspot.com.br/2012/03/normal-0-21-false-false-false-pt-br-x.html

História de Leonardo da Vinci.

Um dos mais completos artistas renascentistas, Leonardo da Vinci nasceu no dia 15 de abril de 1452, muito provavelmente em uma cidade próxima a Vinci, Anchiano, na Itália, embora alguns pesquisadores acreditem que sua terra natal está situada entre Florença e Pisa, à direita do Rio Arno.

Leonardo da Vinci

Seus pais eram o notário – hoje conhecido como tabelião – Piero di Antonio da Vinci, e a camponesa Catarina. Assim que nasceu, eles se separaram e seu genitor contraiu matrimônio com outra mulher, Albiera di Giovanni Amadori, bem mais nova que ele. Ao completar cinco anos, Leonardo foi retirado da guarda materna e entregue ao pai.

Sua infância transcorreu na esfera rural, o que explica seu apego à Natureza. Ele era um aficionado por cavalos, que no futuro se tornariam alvos de suas pesquisas. Aliás, Leonardo se transformaria no modelo da educação clássica, resgatada no Renascimento, pois dominava amplas áreas do conhecimento: a anatomia, a engenharia, a matemática, a música, a história natural, a arquitetura, a escultura, a pintura, e ainda se revelaria um talentoso inventor.

Sua produção científica, genial, oculta em rascunhos e codificações, nunca se destacaria, como o fez sua obra artística. Este viés criador lhe garantiria fama e recompensas. Em 1469 o artista vai para Florença e aí dá início a sua trajetória na esfera das artes, cursando pintura no atelier do famoso pintor de Florença, Andrea del Verrocchio.

Suas pesquisas no campo da anatomia começam a se desenvolver em 1472. Nesta época, Da Vinci cria vários desenhos e esquemas do organismo humano. Nesta primeira etapa de sua criação, que vai até 1480, ele elabora pequenas obras, tais como Madona com Cravo, a Madona Benois e, talvez, a Anunciação.

Em 1482 o artista segue para Milão, e nesta cidade trabalha para Ludovico Sforza, atuando como engenheiro, escultor e pintor. Neste período, que tem como limite o ano de 1486, ele empreende uma de suas realizações mais conhecidas, A Virgem dos Rochedos, pintura concebida para um altar. Até 1488 ele se dedica à arquitetura, permanecendo no atelier da Catedral de Milão.

Monalisa

Leonardo, antes de voltar para Florença, realiza sua última obra para Sforza, a clássica A Última Ceia. Em 1500, já de regresso à cidade florentina, ingressa em seu estágio mais produtivo na esfera da pintura, compondo neste período sua criação mais célebre e misteriosa, o retrato da Lisa del Giocondo, cônjuge de Francesco del Giocondo – a famosa Mona Lisa.

Praticamente na mesma época ele começa a produzir a pintura mural denominada Batalha de Anghiari. Em 1516, com a morte de seu mecenas e protetor Giuliano de Medici, Da Vinci passa a atuar junto ao soberano Francisco I da França. O artista morre em território francês, em 1519, na cidade de Cloux. Seu corpo foi enterrado na Igreja de S. Florentino, em Ambroise, posteriormente destruída durante as insurreições ocorridas na Revolução Francesa.

Fontes:

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/davinci/biografia.htm

Proporção Aurea, Número de Ouro, Divina Proporção, Retângulo Aureo, você já ouviu falar?

As Catenárias são curvas de muita resistência

http://sciencesofworld.wordpress.com/2012/03/04/tunel-ovo-gravida/

Frente do clube do Corinthians

Xadrez

http://www.esofter.com.br/regras-do-xadrez.htm                  http://pt.wikipedia.org/wiki/Xadrez

O que é o Belo afinal?

http://www.mutari.com.br/blog/curiosidades/o-que-e-o-belo

Matemática na Arte

Esta é uma lista de pinturas devidas ou atribuídas a Leonardo da Vinci, 15 de abril de 1452 – Cloux, 2 de maio de 1519), um  dos principais artistas do Alto Renascimento. Existem 15 obras de arte significativas que são creditadas, tanto inteira como parcialmente, a Leonardo pela maioria dos historiadores da arte. Este número  é formado principalmente por pinturas realizadas sobre madeira, mas também incluem um mural, um desenho grande feito em papel e duas obras que estavam em estágios iniciais de seu preparo. Existem diversas outras obras que foram atribuídas a Leonardo, sem a unanimidade dos acadêmicos . 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_pinturas_de_Leonardo_da_Vinci

                                           A Anunciação

                                          c. 1472 – 1475

Virgem de Granada c.1475 – 1480

                             Ginevra de Benci c.1476

O Batismo de Cristo

1972 – 1475

        

       

                                       
                                 Virgem Benois   1478